十字相乘法经典练习题_十字相乘法

• 2023-05-31 02:03:02 来源：互联网

相信目前很多小伙伴对于十字相乘法都比较感兴趣，那么小搜今天在网上也是收集了一些与十字相乘法相关的信息来分享给大家，希望能够帮助到大家哦。

1、十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。

(相关资料图)

2、十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。

3、十字相乘法的方法

4、

4、简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。

5、

5、例：

6、a²x²+ax-42

7、首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a×+？）×(a×+？），

8、然后我们再看第二项，+a这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。

9、再看最后一项是-42，-42是-6×7或者6×-7也可以分解成-21×2或者21×-2。

10、首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除后者。

11、然后，再确定是-7×6还是7×-6。

12、(a×-7）×(a×+6）=a²x²-ax-42(计算过程省略）。

13、得到结果与原来结果不相符，原式+a变成了-a。

14、再算：

15、(a×+7）×（a×+（-6））=a²x²+ax-42

16、正确，所以a²x²+ax-42就被分解成为（ax+7）×(ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式。

17、把2x²-7x+3分解因式。

18、分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

19、别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

20、分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！）。

21、2=1×2=2×1；

22、分解常数项：

23、3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

24、用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

25、13

26、╳

27、21

28、1×1+2×3=7≠-7

29、11

30、╳

31、23

32、1×3+2×1=5≠-7

33、1-1

34、╳

35、2-3

36、1×(-3)+2×(-1)=-5≠-7

37、1-3

38、╳

39、2-1

40、1×(-1)+2×(-3)=-7

41、经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

42、解2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)

43、通常地，对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

44、a1c1

45、╳

46、a2c2

47、a1c2+a2c1

48、按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

49、ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。

50、像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

51、例2

52、把5x²+6xy-8y²分解因式.

53、分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y²看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

54、12

55、╳

56、5-4

57、1×(-4)+5×2=6

58、解5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).

59、指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

60、把(x-y)(2x-2y-3）-2分解因式.

61、分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式十字相乘法，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

62、问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

63、答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了。

64、解(x-y)(2x-2y-3)-2

65、=(x-y)[2(x-y)-3]-2

66、=2(x-y)²-3(x-y)-2

67、1-2

68、╳

69、21

70、1×1+2×(-2）=－3

71、=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

72、=(x-y-2)(2x-2y+1).

73、指出：将元x、y换成（x+y），以（x+y）为元，这就是“换元法”。

74、重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式。

75、难点：灵活运用十字相乘法分解因式。

76、一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S，A所占的数量为M，B为S-M。

77、则：[A*M+B*(S－M）]/S=C

78、A*M/S+B*(S-M)/S=C

79、M/S=(C-B)/(A-B)

80、1-M/S=(A-C)/(A-B)

81、因此：M/S∶(1-M/S）=(C-B）∶(A-C)

82、上面的计算过程可以抽象为：

83、A^C-B

84、^C

85、B^A-C

86、这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C(每个A给B的值）变小，C-B(每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰。

87、第一点：用来解决两者之间的比例问题。

88、第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

89、第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。　

90、对于形如ax²+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字相乘法分解因式时，可以使用Δ=b²-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围该对多项式进行十字相乘。

91、双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如Ax²;+Bxy+Cy²;+Dx+Ey+F的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字相乘法”(主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。

92、例：3x²;+5xy－2y²;+x+9y－4=(x+2y－1）(3x－y+4）

93、因为3=1×3，－2=2×(－1），－4=(－1）×4，

94、而1×(－1）+3×2=5，2×4+(－1）(－1）=9，1×4+3×(－1）=1

95、要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

96、例：ab+b²+a－b－2

97、=0×1×a²+ab+b²+a－b－2

98、=(0×a+b+1）(a+b－2）

99、=(b+1）(a+b－2）

100、提示：设x²=y，用拆项法把cx²拆成mx²与ny之和。

101、例：2x^4+13x^3+20x²+11x+2

102、=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2

103、=(2y+3x+1）(y+5x+2）

104、=(2x²+3x+1）(x²+5x+2）

105、=(x+1）(2x+1）(x²+5x+2）

106、分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式。

107、例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

108、2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3），

109、可以看作是关于x的二次三项式．

110、对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

111、即

112、-22y²+35y-3=(2y-3）(-11y+1）．

113、再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

114、所以

115、原式=〔x+(2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕

116、=(x+2y-3）(2x-11y+1）．

117、(x+2y）(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

118、(x-3）(2x+1）=2x2-5x-3；

119、(2y-3）(-11y+1）=-22y²+35y-3．

120、这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法”

121、用双十字相乘法对多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

122、⑴用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²，得到一个十字相乘图(有两列）；

123、⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

124、我们把形如anx^n+a(n-1）x^(n-1）+…+a1x+a0(n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x），g(x），…等记号表示，如

125、f(x)=x²-3x+2，g(x)=x^5+x²+6，…，

126、当x=a时，多项式f(x）的值用f(a）表示．如对上面的多项式f(x)

127、f⑴=12-3×1+2=0；

128、f(-2）=(-2）²-3×(-2）+2=12．

129、若f(a)=0，则称a为多项式f(x）的一个根．

130、定理1(因式定理）若a是一元多项式f(x）的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x）至少有一个因式x-a．

131、根据因式定理，找出一元多项式f(x）的一次因式的关键是求多项式f(x）的根．对于任意多项式f(x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。

132、怎样进行分解因式

133、例7x+(-8x)=-x

134、解：原式=（x+7）（x-8）

135、例2

136、-2x+（-8x）=-10x

137、解：原式=（x-2）（x-8）

138、例3、

139、分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。

140、因为

141、9y+10y=19y

142、解：原式=（2y+3）（3y+5）

143、例4、因式分解。

144、分析：因为

145、21x+(-18x)=3x

146、解：原式=（2x+3）（7x-9）

147、例5、因式分解。

148、分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

149、因为

150、-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）

151、解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

152、=（2x-1）（5x+8）

153、例6、因式分解。

154、分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。

155、因为

156、-2+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+（-4a）=-a

157、解：原式=[-2][-12]

158、=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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